О логике и математике
Существуют разные взгляды на соотношение логики и математики. Некоторые серьезные мыслители рассматривают математику как часть логики. Существует и прямо противоположная точка зрения, согласно которой логика является частью математики. Логика – это система принципов, позволяющих делать верныe выводы на основе правильных посылок. Эти принципы были сформулированы еще Аристотелем и с тех пор не претерпели существенных изменений. Удивление может вызвать тот факт, что эти простые правила за столь длительное время не привели ни к одной ошибке.
Одно из возможных объяснений этому состоит в том, что в них сконцентрирован опыт, накопленный человечеством на протяжении многих десятков тысяч лет. Примерно сто лет назад один из математиков писал: «С чувством непреодолимого отвращения я отшатываюсь от достойного всякого сожаления зла – непрерывных функций, не имеющих производных». Интуиция подсказывала большинству математиков того времени, что таких функций не должно существовать. А упрямая логика твердила, что почти все функции именно такие гадкие. К счастью, возобладала логика, иначе было бы невозможно создание атомных электростанций, персональных компьютеров и мобильных телефонов. Рассмотренное противоречие дало начало систематическим попыткам найти пробелы в логической системе. Такие попытки продолжались на протяжении всего ХХ века, но к успеху не привели. Логика оказалась непогрешимой.
Об экспоненциальном росте
После такого вступления уже можно рассмотреть логические и математические парадоксы, связанные с экспоненциальным ростом при начислении процентов на проценты.
Возьмем обычный газетный лист. Сложим его вдвое, потом еще вдвое и так далее. Попробуйте быстро оценить, какую толщину будет иметь газета, если мы проделаем эту операцию 50 раз? А теперь давайте посчитаем. После одной операции мы будем иметь два слоя бумаги, после двух – 4, после трех – 8…, после пятидесяти – 250. Если толщина газетного листа равна 0.1 миллиметра, то толщина пачки будет равна:
250/10=(210)5/10=10245/10>10005/10= =(105)3/10=1015/10=1014 миллиметров, или сто миллионов километров. Для сравнения: расстояние от Земли до Солнца равно примерно 150 миллионам километров.
Какое все это имеет отношение к финансовым рынкам? Да самое прямое! Мне несколько раз попадались компьютерные программы, авторы которых утверждали, что с их помощью можно на рынке FOREX зарабатывать порядка тысячи процентов годовых. Это значит, что капитал инвестора, пользующегося этой программой, каждый год увеличивается примерно в десять раз. Начав со скромной суммы в $10 тысяч, инвестор уже через два года станет миллионером, через пять – миллиардером, а еще лет через пять приберет к рукам все деньги на Земле. Остается непонятным, почему авторы программ сами не применят их на практике, а продают их за довольно скромные деньги? Из приведенных рассуждений видно, что доходность в тысячу процентов годовых слишком велика, и нельзя рассчитывать на стабильное получение такого дохода в течение достаточно долгого времени. Кстати, рассмотренный выше пример с газетой соответствует доходности в 100% годовых. Из приведенных оценок следует, что если речь идет о работе на рынке в течение 50 лет, то получить доходность в 100% годовых в принципе невозможно. Таким образом, если мы говорим о финансовых операциях с реинвестицией полученной прибыли, то с оценками доходности нужно быть достаточно осторожными.
Кое-какие характерные величины собраны в таблице 1. В ее первом столбце приведена дневная доходность, во втором та же доходность переведена в годовую, а в третьем она же пересчитана на срок в 50 лет. Из таблицы, в частности, видно, что для срока в 50 лет даже доходность 0.1% в день является запредельной!
Таблица 1. Соответствие доходностей за день. за год и за 50 лет
Рассмотренные выше примеры говорят об одном: модели экспоненциального роста имеют весьма ограниченную область применимости. Например, газету еще никому не удавалось сложить вдвое десять раз. Физики хорошо знают, что экспонента – это модель взрыва. Еще один классический пример того, как в моделях экспоненциального роста не учитываются границы их применимости, дает теория Мальтуса.
Гарантированные выигрыши
Хорошо известен следующий способ получить гарантированный выигрыш при игре в орлянку. Поставим на кон 1 рубль. Если в первой же игре мы выиграем, то игру сразу же прекратим. В противном случае удвоим ставку и сыграем еще раз. В случае выигрыша прекратим игру, а иначе вновь удвоим ставку – и так далее. Вероятность проиграть в первой игре равна 0.5. Вероятность проиграть два раза подряд равна 1/4, три раза подряд – 1/8, вероятность проиграть n раз подряд равна 2-n. Видим, что эта вероятность экспоненциально быстро убывает, поэтому с вероятностью единица игра закончится на каком-то шаге. Подсчитаем прибыли и убытки в случае, если это произошло в игре с номером n.
В первой игре мы проиграли рубль, во второй – два, в (n-1)-ной 2n-2 рублей, а в последней – выиграли 2n-1 рублей. Итог всей операции – один рубль выигрыша*. Результат явно парадоксальный. Корень парадокса заключается в экспоненциальном росте размера ставок. Разобранный выше пример с газетой свидетельствует о том, что уже на пятидесятую ставку никаких денег не хватит. У реального игрока проблемы начнутся гораздо раньше.
Описанный эффект имеет чисто качественный характер и относится отнюдь не только к игре орел-решка.
Допустим, мы работаем на финансовом рынке и имеем какой-то инструмент, выдающий сигналы на вход в рынок. Установим стоп-ордера так, чтобы в случае удачи получать f рублей на вложенный рубль, а в случае неудачи фиксировать убыток в g рублей на вложенный рубль. Можно предположить, что результат такой операции – случайное событие, и с вероятностью p мы получим прибыль, а с вероятностью q=1-p зафиксируем убыток.
Допустим, мы хотим заработать сумму M (миллион). Откроем первую позицию в размере M/f. Если операция закончится с прибылью, то задача решена. В противном случае продолжим игру, вложив сумму M(1+g)/f и так далее. Вероятность проиграть n раз подряд, очевидно, равна qn и быстро стремится к нулю с ростом n. Поэтому с вероятностью единица мы рано или поздно выиграем и заработаем свой миллион.
Все сказанное носит чисто качественный характер: результат не зависит ни от наших амбиций, ни от размеров прибыли и убытка, ни даже от вероятности выигрыша. Важно лишь, чтобы вероятность выигрыша была ненулевой. Правда, и размер инвестируемых средств будет экспоненциально расти независимо от всех этих параметров. Поэтому и объяснение парадокса имеет чисто качественный характер.
Петербургский парадокс
Еще один парадокс такого рода был предложен в 1713 году Николаем Бернулли. По месту публикации он носит название петербургского парадокса. Рассмотрим следующую ситуацию. Петр и Павел уговариваются сыграть ряд партий в орла или решку. Если Петр выигрывает первую партию, Павел платит ему 2 рубля, и игра прекращается. Если Петр проигрывает первую партию и выигрывает вторую, Павел выплачивает ему 4 рубля, и игра заканчивается… Если Петр проигрывает подряд n-1 партий, а затем выигрывает n-ную, Павел выплачивает ему 2n рублей, и игра прекращается. Спрашивается, какова справедливая плата за участие в такой игре? Вероятность получить выигрыш в размере 2n, очевидно, равна 1/2n. События эти независимы, поэтому математическое ожидание выигрыша Петра равно: 2(1/2)+4(1/4)+…+2n(1/2n)+… = = 1+1+…, то есть равно бесконечности.
Таким образом, сколько бы ни заплатил Петр в начале игры, в конце концов он, вероятно, окажется в выигрыше. А между тем никакой здравомыслящий человек на месте Петра не согласился бы поставить и ста рублей против обязательств Павла.
Этот парадокс достаточно долго занимал математиков. Была даже разработана альтернативная теории вероятностей теория морального ожидания. А ларчик открывался просто. Объяснение было дано, насколько я понимаю, Эмилем Борелем [1] в первой половине прошлого века.
Объяснение парадокса опять связано с экспоненциальным ростом ставок. Давайте представим, что Павел продает свои обязательства по частям. Плата в один рубль за право с вероятностью 1/2 получить два рубля и с вероятностью 1/2 не получить ничего – вполне справедлива, и, вероятно, Павел найдет покупателя. То же относится и к обязательству выплатить 4 рубля с вероятностью 1/4 и ничего не платить с вероятностью 3/4. А вот продать за рубль право получить 250 рублей или не получить ничего – Павлу вряд ли удастся, ибо каждый нормальный человек сообразит, что таких денег у Павла нет.
Если учесть это обстоятельство, можно сказать, что справедливая плата за участие в игре никак не больше 50 рублей. Кстати, этот пример можно перевести на язык опционов, поэтому он не так уж далек от реальной жизни. А выводы, как и в предыдущем примере, носят качественный характер.
Разобранные примеры показывают, что если в математической модели явно или неявно появляется экспоненциальный рост, то нужно очень внимательно отслеживать границы применимости модели
Комментариев нет:
Отправить комментарий